Abstract: The relations between ultracompactness  of topological  spaces  and  ultra-  closedness   of  mappings,are   further   studied   in   this   paper.The   properties of  ultraclosed   mappings]are   displayed.An   expression   of  D-limits   of  nets in  a  space  is  given  by  using  closure  operation.The  notions  of  ultracon-  tinuity   and  ultraperfectness   of  mappings   are   presented   on   the  basis   of
[6]and   [9],and   relations   between   these   mappings   are,discussed.The   main work of this paper is the  study of cartesian products and diagonals of map- ping.And  a  theory  on  ultraclosed  mappings  is  set  up.