Abstract: Let   E   be    a   real   Banach    space,J=(0,∞),and   let    f:J×E→be   a    Caratheodory   function.We shall  consider the  initial value problem: ... and  generalize  B.Rzetecki's  existence  theorem  of bounded  solutions  in[4].And  also  our  main  result in§1  is  extension  of  corresponding   theorem  in [5].