Abstract: In   this   paper,we   determind   all   the   4n-th-order   real   representations   of   quaternion    n-th-order square    matrix     algebra     on    real     number     field,then,applied     this    result     to     determine    whether     the quternion   matrix   is    or   not   irregular,meanwhile,obtained    a   new   proof   of    quaternion    matrix    Hadar- mand      inequality.