Abstract: In  this  paper,we  discuss  the  question  of  determining  which  simpl  gra- ph      is     uniquely      r-pancyclic      graph,4≤r≤p,p=IV(G)|.We      solve      this  problem  if  G  is  an  outerplanar  graph,and  determine  all  uniquely  r-pancy- clic  graphs  each  of  which  contains  p+m  edges  for  m≤3.