Abstract: A  Class  M  of rings  is  said  to  be  weakly  hereditary  if  0÷I<R∈M  implies  0≠I"∈M  for  some  positive  integer  n,which  generalizes  the  concept   of  heredity   but   other  than  that  of  regularity.In   §2   the   properties   of   such  class  and  its  essential  cover  are  studied.In  §3  the  upper  radicals   determined  by  them  are  investigated,At  the   same  time  the “Problem  42,   44  and  55” of  Szasz   [7] are   discussed.In   §4   two  examples  are  given,   which  show that the  concept of weak heredity is independent of that of    regularity.