Abstract: In  this  paper    we    define    a   weak   auxiliary   relation<on   completely distributive  lattice  L  as   follows:x<y  iff  for  any   subset  X   of  L  with  y ≤supX   there   exists    x*∈X   such    that   x≤x*.Then,we    prove   the    follow~ ing   results:
Theorem.  Suppose   that   L₁,L₂are    completely    distributive    lattices,f:L₁ →L₂is   a   function,then   f  is   a   generalized   order-homomorphism   iff   f  pre serves   arbitrary   sups   and   <,and   iff   f   preserves   the   minimal    sets.
Theorem.   If  a∈L,BcL,then   B   is   a   minimal   set   of   a   iff   sup   B=a and    B    C↓a.Moreover,if    there    exists    a     minimal    set    of    a,then    the  greatest    minimal    set    of    a    is    β(a)=↓a,where     ↓a={x∈L|x<a}.
In  the  second  section  of  this   paper,we   establish  two  extention  theo- rems  of  generalized  order-homomorphsms.Fanally,we  prove   a  duality  theo- rem  of  the  categories   CD  and  COMP ,whose    objects    are   completely    dis-  tributive   lattices(in  both   cases)and   whose  morphisms   are   generalized   or-  der-homomorphisms(respectively,functions    preserving    arbitrary     sups     and  infs),and    introduce    an    important    and    interesting    functor    of    category  CD×CD    to    CD,